الاحتمالات في الرياضيات

الاحتمالات Probabilities
مفهوم الاحتمال:
الأحداث Events
الاحتمال الشرطي
قواعد الاحتمال
أمثلــة
تابع الأمثلة
راجع هنا
نظرية بييز
المتغيرات العشوائية
نظرية النهاية المركزية
توزيع ذات الحدين
توزيع بواسون
تمارين عامة
هو إمكانية وقوع أمر ما لسنا على ثقة تامة بحدوثه، ويلعب الاحتمال دوراً أساسياً في حياتنا اليومية بالتنبؤ بإمكانية وقوع حدث ما وهو النظرية التي يستخدمها الإحصائي لتساعده في معرفة مدى تمثيل العينة العشوائية محل الدراسة للمجتمع المأخوذ منه العينة، وتنحصر قيمة الاحتمال بين الصفر والواحد الصحيح والصفر للاحتمال المستحيل في حين الواحد الصحيح للاحتمال المؤكد والاحتمال يبحث في ثلاثة مسائل هامة معتمدة على القواعد الخاصة بالاحتمال التي سنذكرها في حينها والمسائل الثلاثة هي:
1) حساب الاحتمال المتمثل بالتكرار النسبي.
2) حساب الاحتمال بدلالة احتمالات أخرى معلومة من خلال عمليات مثل الاتحاد والتقاطع والفرق و ...
3) طرق إجراء التقدير كالتوزيعات الاحتمالية.
أنواع الاحتمال:
1) الاحتمال المنتظم: وهو تساوي احتمالات عناصر الظاهرة فاحتمال الحصول على أي عدد عند إلقاء حجر النرد هو 1 : 6 ويخضع للقانون:

Number of events classifiable as A M
P(A) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ——
Total number of possible events N


M عدد حالات وقوع الحدث A بالفعل
P(A) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ——
كل الحالات التي يمكن وقوعها N
2) الاحتمال الضمني أو الشخصي (Subjective Probabilities): الاحتمال الذي يعتقده شخص أما على حساب خبرته في الظاهرة محل الدراسة وهو يختلف من شخص لآخر كاحتمال ربح حصان في
سباق للخيل.
3) الاحتمالات التكرارية النسبية (The Relative Frequency): ويتم تحديده كما يلي:
أ) نسبة وقوع الحدث على مدى طويل مع ثبات الظروف المحيطة بالحدث.
ب) حساب مرات وقوعه في عدد كبير من المحاولات أي:
عدد مرات ظهوره
P(A) = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
عدد مرات إجراء التجربة
التعاريف الأساسية للاحتمال:
التجربة العشوائية (RANDOM SAMPLING): كل إجراء نقوم به نعلم مكوناته دون معرفة أي منها سيقع، وتعرف في علم إحصاء بالتجربة الإحصائية وهي كل عملية تعطي قياساً لظاهرة ما.
التجربة العشوائية بإلقاء قطعة النقود التي عناصرها المجموعة {صورة ، كتابة} وقد يقع أي منهم وتعرف الصورة والكتابة بعناصر العينة.
التجربة العشوائية بإلقاء حجر النرد الذي عناصره المجموعة {1، 2، 3، 4، 5، 6} وقد يقع أي منهم، وهكذا ...
فضاء النواتج (Sample Space):
تعرف المجموعة {1، 2، 3، 4، 5، 6} في مثالنا السابق للتجربة العشوائية بفضاء النواتج أو قضاء الإمكانيات أو فضاء العينة (Sample Space)
فضاء العينة لتجربة إلقاء قطعة نقود مرة واحدة { T ، H} أو تمثل بشكل فن مستطيل أو دائرة بالداخل العناصر الخاصة بالتجربة العشوائية.
الأحداث Events :

الحدث هو مجموعة جزئية من فضاء العينة وعدد الأحداث تخضع للصيغة 2ن حيث ن عدد عناصر فضاء العينة واحتمال وقوع الحدث A هو نسبة عدد حالات وقوعه بالفعل بالنسبة لكل الحالات الممكنة لوقوعه أي أن: P(A) = M ÷ N حيث M عدد حالات وقوع A بالفعل ، N عدد الحالات الممكنة فاحتمال ظهور عدد فردي عند إلقاء حجر النرد مرة واحدة هو 0.5 لأن الأعداد الفردية ثلاثة (1، 3، 5) والتي تحقق المطلوب (عدد فردي) وكل الأعداد ستة (1، 2، 3، 4، 5، 6) فالاحتمال 3 ÷ 6 = 0.5 ، الشكل المقابل لحجر النرد أو الزار أو الزهرة

الحدث البسيط ( Simple event ): وهو الحدث المكون من عنصر واحد مثل {1} في تجربة إلقاء حجر النرد.
الحدث المركب ( Compound event ): الحدث المكون من أكثر من عنصر مثل {2، 4، 6} حدث العدد زوجي في تجربة إلقاء حجر النرد.
الحدث المستحيل: الحدث الذي لا يحوي أي عنصر كحدث ظهور العدد 7 في تجربة إلقاء حجر النرد.
الحدث المؤكد: الحدث الذي يضم كافة عناصر الفضاء كحدث ظهور عدد أقل من 7 في تجربة إلقاء حجر النرد.
الحدثان المتنافيان ( Mutually Exclusive events ): الحدثان اللذان لا يشتركا في أي عنصر وتقاطعهم المجموعة الخالية أي A ∩ B = f مثل {2}، {3}، وتعرف بالأحداث غير المتصلة.
الأحداث المنتظمة (dependent events): المتساوية في احتمالاتها. ففي تجربة إلقاء حجر النرد مرة واحدة يكون: P(1) = P(2) = P(3) =P(4) = P(5) = P(6) = 1:6
الأحداث الشاملة ( Exhaustive events ): إذا كان S فضاء عينة ما فإن الأحداث A, B, C شاملة إذا تحقق الشروط الثلاثة الآتية:
1) متنافية فيما بينها أي: A ∩ B = f و A ∩ C = f و C ∩ B = f
2) أياً منها ليست خالية أي A ≠ f و B ≠ f و C ≠ f
3) إتحادها يساوي S أي A υ B υ C = S
الأحداث المكملة (Complementary events): الحدثان اللذان اتحادهم يساوي فضاء العينة بمعنى Aحدث فإن A`الحدث المكمل حيث A υ`A = S
الحدثان المستقلان ( Independent events ): اللذان لا يتأثر أي منهم بالآخر (وقع أحدهم لا يؤثر أو يتأثر بوقوع أو عدم وقوع الآخر).
P(A ∩ B) = P(B) × P(A) قاعدة الضرب للاحتمالات للإحداث المستقلة
يمكن تعميم هذه القاعدة لأكثر من حدثين
P(A ∩ B ∩ C ∩ ... ∩ Z) = P(A) × P(B) × P(C)×... × P(Z)
الأحداث الغير مستقلة (المشروطة) Conditional Probability:
حدثان وقوع أحدهما يؤثر في وقوع الآخر مثل سحب ورقة من أوراق اللعب دون إرجاع مما يؤدي لتأثير سحب ورقة جديدة لنقص الفرصة بنقص عدد الأوراق (من 52 إلى 51)
فالحدثان A, B نكتب حدث وقوع A بشرط وقوع B بالصورة A / B ويكون:

P(A ∩ B)
P(A / B) = ـــــــــــــــــــــــــ , P(B) ¹ 0
P(B)

OR
P(A ∩ B) = P(B) × P(A / B)
لاحظ أن العلامة / ليست علامة القسمة بل علامة شرط وقوع ما يليها من أحداث
P(A / B)s وهو احتمال وقوع الحدث A بشرط وقوع الحدث B ، قد ترد عبارة أخرى تفيد الشرط كالقول علماً بأن , ...
وفي حالة الحدثان مستقلان أي لا يؤثر وقوع أحدهما على الآخر ( when A and B are independent events ) يصبح القانون:
P(A ∩ B) = P(B) × P(A)
مثال: صندوق يحوي 14 كرة منها 8 حمراء ، 6 زرقاء سحبت كرتان (عشوائياً) من الصندوق الواحدة وراء الأخرى دون إرجاع ( أو سحب كرتان معاً ).
أحسب احتمال أن تكون الكرتان حمراء وزرقاء (الأولى زرقاء والثانية حمراء). (أنظر الشكل).
الحل:
ليكن A = حدث سحب كرة حمراء اللون
وليكن B = حدث سحب كرة زرقاء اللون
فالمطلوب هوP(A / B)s حيث A السحبة الثانية ، B السحبة الأولى.
P(A ∩ B) = P(B) × P(A / B)

8 6 24
P(A ∩ B) = — × — = —— = 0.2637
14 13 91

لاحظ سحب كرتان نفس اللون = ل(ح ، ح) + ل(ز ، ز) = (8÷14)×(7÷13) + (6÷14)×(5÷13) = 0.4725
لاحظ سحب كرتان مختلفتان في اللون = ل(ح ،ز) + ل(ز ، ح) = 0.2637 + 0.2637 = 0.5274
لاحظ مجموع الاحتمالان السابقان 0.4725 + 0.5274 = 0.9999 ≈ 1 مثال آخر مثال ثالث
الأشكال التالية (أشكال فن) تبين ما سبق من أحداث بصورة مبسطة:



قواعد الاحتمال: راجع هنا
1) إذا كان A حدث من S أي أنَّ A مجموعة جزئية من S فإن:
A يعبر عن احتمال وقوع الحدث P(A) الرمز

Number of events classifiable as A M
P(A) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ——
Total number of possible events N


M عدد حالات وقوع الحدث A بالفعل
P(A) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ——
كل الحالات التي يمكن وقوعها N

0 < P(A) < 1 , P(S) = 1 , P(f) = 0
2) الحدثان المتكاملان (المتتامان) A υ`A = S يكون:
P( A ) + P(`A ) = 1
ويمكن استنتاج: P(`A ) = 1 – P( A )s أو P( A ) = 1 – P(`A )s
أيضاً نقول أن الحدث A`هو حدث عدم وقوع A .
3) مجموع احتمالات الأحداث الشاملة يساوي الواحد الصحيح لأن اتحادها يساوي S
4) الحدثان المتنافيان A, B أي تقاطعهم f فإن:
P(A υ B) = P(A) + P(B) , P(A ∩ B) = 0
ويمكن تعميم ذلك على أكثر من حدثين متنافيين.
5) إذا كان A, B حدثان غير متنافيين (متصلين) أو احتمال وقوع أحدهم على الأقل فإن:
P(A υ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
عملية الطرح هنا للاحتمالP(A ∩ B)s لتكراره مرتين عند حساب الاحتمال للجزء المشترك بين A, B حيث يحسب مرة مع A وأخرى مع B
يمكن تعميم القاعدة السابقة لأكثر من حدثين متصلين كالتالي:
P(A υ B υ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C)
6) عدد الأحداث في فضاء النواتج(S) للتجربة العشوائية هو s2nحيث n عدد عناصر الفضاء (S) فعدد أحداث تجربة إلقاء حجر النرد مرة واحدة هو (2)6 = 64حدثاً بما
فيهم الحدثان المستحيل ф والمؤكد S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}s
أمثلــة: تابع الأمثلة
(1) في تجربة إلقاء قطعة نقود وحجر النرد ولمرة واحدة أكتب فضاء النواتج S.
الحل: قطعة النقود لها عنصران H, T صورة وكتابة ، وحجر النرد له 6 عناصر هي العداد من 1 إلى 6 وعليه يكون عدد عناصر فضاء التجربة = 3 × 2 = 12 هي:
S = {(H,1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6), T,1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6) }
ويمكن كتابتها اختصاراً بالصورة :
S = {(H,1), (H, 2), ... , (T, 6) }
(2) سحبت كرة واحدة فقط من كيس يحوي 10 كرات متماثلة تماماً ألوانها 3 حمراء ، 2 سوداء ، 5 صفراء فما احتمال أن تكون الكرة المسحوبة حمراء
الحل: عدد الكرات التي تحقق المطلوب (حمراء اللون) هو 3 وعدد الكرات التي يمكن أن تسحب يساوي 10 وبافتراض أن A هو حدث الكرة حمراء فيكون المطلوب:
P(A) = M ÷ N = 3 ÷ 10 = 0.3
(3) إذا كان احتمال وفاة شخص هو 0.05 فما احتمال أن يعيش؟
الحل: واضح أن الاحتمال المطلوب هو الحدث المتمم للاحتمال المعطى أي أن مجموعهم يساوي الواحد الصحيح وبفرض أن:
A : حدث أن يعيش الرجل
P( A ) = 1– P(`A ) = 1 – 0.05 = 0.95
(4) بين إن كانت الأحداث الآتية شاملة (دالة احتمال) حيث احتمالاتها 0.1، 0.3، 0.6 مع العلم بأنها متنافية فيما بينها
الحل: حتى تكون شاملة يجب أن يكون مجموعها يساوي الواحد الصحيح وبجمعها نجد أن: 0.1 + 0.3 + 0.6 = 1 فالأحداث شاملة.
(5) بين إن كانت الأحداث الأربع الآتية شاملة (دالة احتمال) حيث احتمالاتها 0.0، 0.1، 0.3، 0.6
الحل: حتى تكون شاملة يجب أن لا يكون أياً منها لا يساوي f ولكن وجود الاحتمال المساوي للصفر يعني الحدث = f فالأحداث غير شاملة.
(6) إذا كان احتمال النجاح في مادة الرياضيات هو i0.45واحتمال النجاح في مادة الإحصاء هو i0.65واحتمال النجاح في المادتين معاً هو i0.37أوجد احتمال النجاح في أحد
المادتين على الأقل.
الحل: بتطبيق صيغة الاحتمالات للحوادث المتصلة بفرض أنَّ:
A : احتمال النجاح في مادة الرياضيات
B : احتمال النجاح في مادة الإحصاء
A ∩ B : احتمال النجاح في المادتين معاً
فأنَّ:
P(A υ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= 0.45 + 0.65 – 0.37
= 0.73